二階常系數線性微分方程

　　考點一、二階常系數線性齊次方程y'+py'+qy=0解的結構

　　若函數y?,y?為該方程兩個線性無關的解，即y?≠ky?，則該方程的通解為y=C?y?+C?y?.

　　考點二、二階常系數線性非齊次方程y”+py'+qy=f(z)解的結構

　　若y*為方程y”+py'+qy=f(x)的一個特解，?=C?y?+C?y?為與其對應的齊次方程y”+py'+qy=0的通解，則y*+y為方程y”+py'+qy=f(x)的通解.

　　若y?是方程y”+py'+qy=f1(x)的解，y?是方程y”+py'+qy=f?(x)的解，則y?十y?是方程y”+py'+qy=f?(x)+f?(x)的解.

　　考點三、二階常系數線性齊次方程y”+py'+qy=0通解的求法

　　先寫出與其對應的特征方程r²+pr+q=0.

　　1.若特征方程有兩個不等實根r?,r?，則齊次方程的通解為?=C?e?1?”+C?er?x.

　　2.若特征方程有一重根r，則齊次方程的通解為?=(C?x+C?)e??.

　　3.若特征方程無實根，或者說有一對共軛復根r?=α+iβ，r?=α-iβ，則齊次方程的通解為?=e??(C?cosβx+C?sinβx) .

　　考點四、二階常系數線性非齊次方程y”+py'+qy=f(x)通解的求法

　　1.先求出與其對應的齊次方程y”+py'+qy=0的通解y.

　　2.再求出非齊次方程的特解y*，則該方程的通解為y=?+y*.

　　3.特解y*的求法

　　(1) 若f(x) =Pn(x) e??， 則方程的特解可設為y*=x??Qn(x) e??，其中Qn(x)與Pn(x)是同次多項式，系數待定，且

　　k=0,α不是特征根，

　　k=1,α為單獨特征根，

　　k=2,α為二重特征根.

　　(2) 若f(x)=e??(Acosβx+Bsinβx)，則方程的特解可設為y*=x?e??(A?cosβx+B?sinβx)。其中A?，B?為待定系數，且

　　k=0,a+iβ不是特征根，

　　k=1,a+iβ是特征根.

　　解題指導

　　二階常系數線性微分方程的求解方法：

　　第一步：首先判斷方程類型是否為二階常系數線性微分方程.

　　第二步：若是，看是齊次，還是非齊次.

　　1.若是齊次的，應先寫出特征方程：r²+pr+q=0，然后求特征根，由特征根構造方程的通解.

　　2.若是非齊次的，應先求出其對應的齊次方程的通解，然后構造非齊次方程的特解，最后由解的結構得到原非齊次方程的通解.

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